Hat der Bereich vielleicht zusätzlich die Freigabe für die Benutzergruppe "Gast"?
Du musst den User als Autor im Beitrag eintragen.
In der Forensuche hast du dies eventuell nicht gefunden:
Wenn jeder Besucher der Webseite den Beitrag bearbeiten darf, dann hat entweder die Gruppe "Public" oder "Guest" zuviele Rechte.
Zum allgemeinen Verständnis:
Der Zugriff / die Sichtbarkeit wird über die Zugriffsebenen geregelt.
Die Änderung / Bearbeitung wird über die Gruppen geregelt.
Wenn ein Beitrag erst nach einem Login sichtbar sein soll, dann diesem die Zugriffsebene "Registered" zuweisen. Soll das jeder sehen können, dann der Ebene "Public". Eine Spezialität ist die Ebene "Guest". Wenn der Beitrag dieser Ebene zugewiesen ist, dann ist der ohne Login sichtbar, aber nicht mehr, wenn man eingeloggt ist.
Wer diesen Beitrag bearbeiten darf, regelt die Benutzergruppe. Wenn Du der Gruppe "Public" oder "Guest" das Recht erteilst, dass sie diesen Beitrag bearbeiten dürfen, dann darf das eben jeder. Ein Login ist hier nicht notwendig.
Im Moment kann er seinen Bereich vom Frontend bearbeiten, aber das kann theoretisch jeder andere Homepagebesucher auch.
Also ich kann das nicht auf deiner Site!
Und es ist so, wie LukasHH schreibt: wenn das so ist, dann sind die Rechte für Public/Gast falsch gesetzt.
Als Publisher kannst du generell alle Beiträge vom Frontend editieren, löschen und veröffentlichen.
Grundsätzlich muss er sich dazu anmelden - woher sollte sonst das System wissen, dass der Publisher gerade da ist. Wenn dem nicht so wäre, hätte ich eben gerade deine Website löschen können (zumindest fast) 
... kannst Du demnach unter Walking Football keine neuen Beiträge erstellen oder bearbeiten?
Nein, ich auch nicht.
Moment - das "Walking Football" gibt es 2x
Hier kann man schon ein neuen Beitrag anlegen.
ja und Walking Football im Mainmenü direkt sichtbar meine ich.
Ich hatte das gewählt
Der Menüpunkt unter "Abteilungen" sieht aus, wie ein einzelner Beitrag. Der andere Menüpunkt wie "Kategorie-Liste". Auf jeden Fall sieht das ziemlich "vermurkst" aus, auch was die Berechtigungen betrifft.
Den Autor in jedem Beitrag festlegen, den er bearbeiten darf:
wie mache ich es nun, dass er sich auch dazu oder überhaupt einloggen muss.
Das ist es, was ich damit meinte, dass scheinbar die gesamten Berechtigungen "vermurkst" sind. Auch wenn die Kategorie-Liste jetzt nicht mehr für jeden sichtbar ist, ist das Berechtigungsproblem damit noch nicht behoben.
Grundsätzlich ist das, was Du möchtest ein Standard. Ich denke, dass hier zu viel an den Berechtigungen verdreht wurde und Du dadurch immer mehr Probleme dazu bekommst. An der Stelle wäre meine Empfehlung, erst einmal ein Berechtigungskonzept erstellen und dann nochmal von vorne anfangen.
