Werden denn Fehler angezeigt, die es zu reparieren gilt? Du schreibst ja das nach einem Update nichts mehr erreichbar ist, da frage ich mich wie die DB-Reparetatur aufgerufen wird.
Du solltest sicherstellen, das VOR der Migration das Joomla erst einmal fehlerfei ist. Werde hier schon Fehler bei der DB-Reparatur angezeigt? Wenn ja, dann reparieren. Eventuell alle originalen Sourcen Deiner 3.5er-Version drüberkopieren (außer Verzeichnis "installation").
Erst wenn Deine aktuelle Version wirklich sauber ist und alles was inkompatibel sein könnte entfernt ist, erst dann mit der Migration nach 3.6.5 starten. Schau Dir alle Erweiterungen ab id=10000 an. Falls Du auch Joomla 3.5.0 bist, installiere erst einmal das Update nach 3.5.1 und erst danach migrieren auf 3.6.5 - die einzelnen Zustände möglichst immer sichern, damit Du zurück kannst, das sollte klar sein. Ein Akeeba-Backend entfernen.
Schau auch mal was für ein PHP-Memory-Limit verfügbar ist. 72 MB oder mehr sollten es schon sein.
Ferndiagnosen ohne Einblick in die konkrete Installation sind immer schwer bis unmöglich. Oft sind es Kleinigkeiten die für Probleme sorgen.