Mein Problem habe ich lösen können. Ein altes Modul war schuld, dass ich übersehen hatte.
Es handelt sich um "DisplayNews" (siehe Link), das zwar mit Joomla 3.x kompatibel ist aber wohl eben nur bis zu Version 3.7.5.
Ich habe es nur deaktiviert und nicht deinstalliert. Dann die Installation von 3.7.5 auf 3.8.0 neu gestartet und alles lief korrekt durch. Keine weiße Seite mehr nach der Installation und die Version von Joomla wird auch korrekt angezeigt. Backend funktioniert.
Mein Tipp: Vielleicht noch einmal genau alle Module und Plugins anschauen und alles was nicht gebraucht wird deaktivieren und das Update noch einmal starten. Danach immer wieder eins aktivieren und schauen wie sich die HP verhält.
Link zu "DisplayNews":
http://joomla.rjews.net/downlo…isplay-news-for-joomla-16