Der 403er ist nicht normal, von aussen schwer zu sehen, was da krumm ist. Möglich, dass die Seite gehackt worden ist, hast du das mal geprüft? Es ist allerdings nicht selten, dass der Installer zickt. Aber, ein 403 ist nicht normal, und der hat auch mit dem Update an sich weniger zu tun, als mit der Weiterleitung auf die Seite, auf der die Erfolgsmeldung des Updates erscheint.
Das Update lässt sich per FTP erzwingen. Das 3.6.5er Update-Paket einfach über die vorhandenen Dateien schubsen, und danach die DB reparieren lassen. Und nimm evtl ein paar Euro in die Hand, um die Seite auf Schadcode prüfen zu lassen, die Probleme wirst du sonst immer wieder mal bekommen.