Danke Euch.
Zunächst habe ich nochmal den Hinweis von Sieger66 angeschaut. Das hatte ich zwar auch schon probiert, aber den anschließenden Hinweistext fehlinterpretiert.
Nach Klick auf "Leeren" kam dieser Text:
-> Warnung
Einige Aktualisierungsquellen sind deaktiviert. Bitte diese unter Aktualisierungsquellen überprüfen.
Ich bin da zuvor auf Optionen >Joomla!-Aktualisierung gegangen und den Aktualisierungsserver geändert (was keinen Erfolg hatte).
Doch jetzt habe ich entdeckt, dass beim Warn-Hinweis ein Link war, den ich wohl übersehen hatte.
Unter >Erweiterungen >Verwalten >Aktualisierungsquellen war tatsächlich das "Joomla! Core" deaktiviert. Nach dem Aktivieren hat der Update-Hinweis und das anschließende Update geklappt (weiß nur nicht, wie es deaktiviert wurde).
Aber jetzt klappt es wieder.
Nochmals Danke.