Weißt du noch, ob die .jpa-Archive zum damaligen Zeitpunkt das komplette Joomla beinhaltet haben, also Dateien und Datenbank-Tabellen (Standardeinstellung)? Oder hast du da nur einen Teil gesichert gehabt?
Falls du alles gesichert hast, sollte man die Webseite wiederherstellen können:
Kannst du mal die Verzeichnisse eines deiner erwähnten Ordner posten! Ist da das Verzeichnis /installation dabei. Ich weiß gerade nicht, wie das bei AkeebaBackup läuft. Aber eigentlich solltest du da die entsprechenden Dateien für die DB-Tabellen im Verzeichnis "installation" finden. Der Installer wird ja auch immer integriert.
Wie bist du vorgegangen, dass du lediglich die Dateien dort liegen hast. Kickstart gestartet und dann abgebrochen?
Existiert die configuration.php?
Was passiert, wenn du einfach mal die Seite aufrufst?